Questões de Matemática - Análise Combinatória

Um artista plástico gosta de arte abstrata, geralmente entendida como uma forma de arte que não representa objetos próprios da nossa realidade concreta exterior; em vez disso, usa as relações formais entre cores, linhas e superfícies para compor a realidade da obra, de uma maneira “não representacional”. Esse artista deseja colorir seu quadro, que possui oito faixas, conforme a figura a seguir, com três cores disponíveis: vermelho, azul e amarelo. A quantidade de maneiras como ele pode pintar esse quadro de modo que as faixas consecutivas numeradas não sejam da mesma cor é 

A pesquisa foi realizada pela Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas (FIPE). O número de maneiras que podemos colorir as letras da sigla FIPE, com três cores diferentes, de modo que letras vizinhas não possam ter a mesma cor é

Uma senha para operar em um determinado caixa eletrônico é formada por quatro letras e composta do seguinte modo: fixada uma ordem, a primeira letra é escolhida do conjunto {H, I, J, K, L}; a segunda letra do conjunto {X, Y, Z}; a terceira letra do conjunto {M, N, P, Q} e a quarta letra do conjunto {U, V, W}. Nestas condições o número de senhas que podem ser construídas é 

Para a Questão, leia o texto a seguir.

Uma mesorregião é uma subdivisão dos estados brasileiros que congrega diversos municípios de uma área geográfica com similaridades econômicas e sociais. O conceito de mesorregião foi criado pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) e é utilizado para fins estatísticos e não constitui, portanto, uma entidade política ou administrativa. De acordo com o IBGE, o estado do Rio Grande do Norte se divide em quatro mesorregiões.

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Anexo:Lista_de_mesorregi%C3%B5es_do_Rio_Grande_do_Norte, acesso em 17/06/2012

Durante uma aula de Geografia, um aluno do Curso Técnico Subsequente em Guia de Turismo pretende pintar as quatro mesorregiões (Oeste Potiguar¹ , Central Potiguar² , Agreste Potiguar³ e Leste Potiguar⁴ ) em um mapa do estado do Rio Grande do Norte. Sabendo que o aluno tem disponível uma coleção com 12 lápis de cores diferentes e que não será utilizada a mesma cor para pintar mesorregiões diferentes, o número de maneiras que o mapa poderá ser pintado é